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COMPOSIÇÃO DE FORÇA

MATÉRIAS

Objetivos

Através de atividades realizadas numa mesa de forças, identificar e determinar a equilibrante de um sistema de duas forças colineares ou não-colineares e calcular a resultante de duas forças utilizando método algébrico e geométrico. Comprovar o efeito de mudança de ângulo no módulo da força resultante.

Introdução

Forças são definidas como grandezas vetoriais em Física. Com efeito, uma força tem módulo, direção e sentido e obedecem as leis de soma, subtração e multiplicação vetoriais da Álgebra. Este é um conceito de extrema valia, pois comumente o movimento ou comportamento de um corpo pode ser estudado em função da somatória vetorial das forças atuantes sobre ele, e não de cada uma individualmente. Por outro lado, uma determinada força pode também ser decomposta em subvetores, segundo as regras da Álgebra, de modo a melhor analisar determinado comportamento.

Advém da compreensão da força como uma grandeza vetorial a definição da Primeira Lei de Newton. Esta lei postula que:

Considerando um corpo no qual não atue nenhuma força resultante, este corpo manterá seu estado de movimento: se estiver em repouso, permanecerá em repouso; se estiver em movimento com velocidade constante, continuará neste estado de movimento.

Assim, pode-se de fato aplicar várias forças a um corpo, mas se a resultante vetorial destas for nula, o corpo agirá como se nenhuma força estivesse sendo aplicada a ele. Este é o estado comum de "equilíbrio" da quase totalidade dos corpos no cotidiano, já que sempre há, na proximidade da Terra, a força da gravidade ou peso atuando sobre todos os corpos. Um livro deitado sobre uma mesa está na verdade sofrendo a ação de pelo menos duas forças, que se equilibram ou anulam e dão-lhe a aparência de estar parado. O Anexo ao final deste relatório traz maiores informações acerca de forças e suas características.

Os experimentos a seguir ajudarão a demonstrar o comportamento algébrico e geométrico de duas forças. O formato de apresentação dos experimentos procurará acompanhar o roteiro que faz parte do material usado. A discussão, quando apropriado, far-se-á intercalada à descrição dos experimentos.

Parte Experimental

Parte I - Composição de Forças Colineares

Material Utilizado (Comum a todos os experimentos posteriores)

Um conjunto estrutural de mesa de força de referência 7728/MMECL, fabricado pela Maxwell Metalurgia e Equipamentos Científicos Ltda.

Dois conjuntos de massas acopláveis de 50gf e gancho lastro.

Três extensões de cordão com ganchos.

Um alinhador para dinamômetro nivelado para alinhamento a 90o.

Um conjunto de sustentação formado por perfil universal com fixador e tripé com três sapatas niveladoraS amortecedoras.

Um dinamômetro de 2 newtons.

Figura 1: Mesa de Forças.

Figura 2: Mesa de forças e suporte para dinamômetro.

Procedimento e Discussão

Determinou-se o peso F1 do um conjunto de massa m formado por um gancho lastro mais duas massas acopláveis.

F1 = 1,154 N

Uma roldana foi afixada na posição 0o da mesa de forças, e o conjunto de massa m, através do cordão, foi passado por ela e afixado no anel central. Ver Figura 3.



Figura 3: Vista superior da mesa de forças.


A fim de conferir equilíbrio ao sistema, uma segunda força Fe, denominada equilibrante, será aplicada segundo direção e sentido apropriados. A fim de obter tal façanha, prendeu-se o conjunto de suporte com o dinamômetro na ponta oposta da massa m, de modo que o anel central que prende os ganchos com fios ficasse centrado no pino existente no meio do disco de forças.

Alinhou-se a altura do dinamômetro com a altura da mesa de forças, de modo a que os fios de ligação ficassem paralelos à mesa, mas que não a tocassem, evitando assim forças de atrito indesejáveis. Batendo com o dedo levemente sobre a mesa e sobre a capa de proteção do dinamômetro, tensões foram aliviadas enquanto movia-se o conjunto do dinamômetro, mantendo o anel centrado no meio da mesa. Ver novamente a Figura 3.

Criou-se, assim, um sistema de duas forças de mesma direção, mesmo módulo e sentidos opostos, que equilibraram o conjunto de massa m numa ponta. Uma das forças é a força peso exercida pelo conjunto de massa, e a outra força é exercida pelo dinamômetro. Fazendo a leitura do dinamômetro, obteve-se o valor:

Fe = 1,18 N

Este valor é muito próximo da força F1 anteriormente medida do conjunto de massa, que foi de 1,154N. Imprecisões do dinamômetro e influência de forças de atrito e inércia rotacional da roldana e fio resultam na diferença encontrada, uma vez que a teoria prevê valores idênticos. Entretanto, o fato de que o sistema não se movimenta indica a existência do equilíbrio, independente dos valores lidos no dinamômetro. Veja Figura 4 para uma ilustração das forças atuantes.


Se o sistema está em equilíbrio e não apresenta movimento, conclui-se que nenhuma força resultante deverá estar agindo sobre ele. Assim, a força equilibrante Fe anula completamente a força peso F1.

Acrescentando outra massa de peso 0,5N ao conjunto de massa m, novamente movimentou-se o dinamômetro de modo a posicionar o anel no centro da mesa de forças. Fez-se nova leitura então do dinamômetro, que representa a força equilibrante Fe.

Fe = 1,68 N

Conclui-se que esse peso de 0,5N foi somado em módulo à força Fe, que apresentou um aumento de precisos 0,5N. É lícito então afirmar que duas forças colineares de sentidos opostos se subtraem. No experimento acima, como os módulos eram idênticos, o resultado foi um vetor zero.

Da mesma maneira, é possível afirmar que o vetor força resultante de duas ou mais forças colineares de mesmos sentidos é a somatória dos módulos de cada vetor força. É precisamente o que ocorreu na adição de um peso de 0,5N ao conjunto de massa m no experimento acima. Um vetor força peso de módulo 0,5N, de mesmo sentido e direção que o vetor peso anterior de 1,154N foi a ele somado. Graficamente, isso pode ser representado conforme observado na Figura 5.


Figura 5: Soma e subtração de vetores força.


Em I, os vetores F1 e F2 são somados, posicionando-se a origem do vetor F2 coincidente com a extremidade do vetor F1. O vetor resultante então é traçado da origem de F1 à extremidade de F2, conforme as regras geométricas da somatória vetorial. Na subtração, em II, F2 é subtraído de F1, posicionando-se pois a origem de F2 na extremidade de F1 e traçando-se então o vetor resultante da origem de F1 à extremidade de F2. Observar que F2 em II é o mesmo vetor F2 em I, porém de sentido oposto. A resultante é portanto menor. Tomando-se F1 e F2 de mesmo módulo, é óbvio que a resultante seria zero, conforme demonstrou-se no experimento.



Parte II – Composição de Forças Ortogonais


Material Utilizado

Mesmo do experimento anterior.



Procedimento e Discussão

Tomou-se dois conjuntos de massa com pesos F1 e F2, medidos com o dinamômetro, conforme abaixo:

F1 = 0,66N

F2 = 0,66N



Montou-se esses pesos na mesa de forças conforme a Figura 6.


Figura 6: Vista superior.

O dinamômetro foi movimentado até que o anel ficasse centrado no pino da mesa de forças. Inicialmente escolheu-se um ângulo qualquer entre F1 e F2 e fez-se uma leitura no dinamômetro. À medida em que o ângulo entre estas forças foi sendo ajustado de modo a aumentar, percebeu-se que o dinamômetro tendia a indicar forças menores. Chegou-se a um ângulo de 180o entre as forças, e o dinamômetro indicou zero. Isso é consistente com a regra de soma vetorial. Vejamos a Figura 7.


Figura 7: Vetores em 90 graus.

O vetor resultante de F1 e F2, traçado com auxílio de um paralelogramo conforme indicado na figura, tem mesmo módulo, direção e sentido oposto ao vetor Fe, que é o valor indicado no dinamômetro. Ao aumentar o ângulo entre F1 e F2, este vetor resultante vai diminuindo em módulo, conforme foi indicado no dinamômetro. Se este ângulo chega a 180o , isso significaria vetores colineares e de sentidos opostos. Como têm o mesmo módulo, anular-se-iam mutuamente e o resultante seria zero.

Por outro lado, diminuindo-se o ângulo entre F1 e F2 até chegar a 0o, a resultante seria a soma dos módulos de ambos. Assim sendo, tomando a equação vetorial:

Fr = F1 + F2

Fr atinge valor máximo quando o ângulo entre os vetores F1 e F2 for de 0o, sendo F1 e F2 de mesmo sentido. Fr atinge seu valor mínimo, ou zero, quando o ângulo é 180o.

Parte III – Forças Concorrentes Quaisquer

Material Utilizado

Mesmo do experimento anterior.



Procedimento e Discussão

O objetivo deste experimento é determinar o ângulo a entre duas forças F1 e F2, de mesmo módulo, de modo que uma terceira força F3 de módulo igual às anteriores equilibre o sistema. Usando a Lei dos Cossenos adaptada para o formato abaixo:


é possível determinar algebricamente este ângulo. Esta é uma equação modificada da Lei
dos Cossenos pois considera o menor ângulo formado pelos vetores (que são posicionados de forma a terem a mesma origem). Este menor ângulo é o suplemento do maior ângulo formado se se posicionar a origem de um vetor na extremidade de outro. Como cos(180-a ) = -cos(a ), o sinal do termo 2F1F2cosa é positivo, ao invés do esperado negativo da Lei dos Cossenos. Ver Figura 8.

Figura 8: Representação geométrica da Lei dos Cossenos adaptada.

Determinou-se então algebricamente o ângulo necessário para estabelecer equilíbrio entre as forças. Tomando F3 = F2 = F1 = F, vem:


A fim de comprovar este valor experimentalmente, tomou-se dois pesos F de módulos
iguais, 0,66N, e montou-se todo o conjunto sobre a mesa de forças de modo que o ângulo entre todas as forças fosse de 120o. Ver Figura 9.



Figura 9: Sistema em equilíbrio de forças de módulos iguais.



Obteve para a leitura do dinamômetro o valor da força equilibrante Fe.

Fe = 0,65N

Usando-se a Lei dos Cossenos, calculou-se o valor teórico a ser obtido no sistema para o módulo da força Fe. Assim,


Comparando-se este valor com o achado experimentalmente, vem:



Um erro consideravelmente baixo, levando em conta que desconsiderou-se para efeito de cálculo influência do atrito das roldanas, inércia rotacional das mesmas e erros de leitura e precisão do dinamômetro. De fato, pois, o ângulo de 120o é o indicado para equilibrar três forças de iguais módulos e mesma origem.

A equação


pode portanto ser usada para calcular o módulo da força resultante de quaisquer forças
coplanares, sabendo-se o menor ângulo entre elas e tendo a origem dos vetores num ponto comum


Conclusão

Os experimentos realizados puderam demonstrar as fórmulas e teorias algébricas da composição e decomposição de vetores, ou seja, a soma vetorial e a resultante de vetores. Foi possível experimentar várias configurações diferentes de pesos e ângulos e observar de imediato as alterações e influência, registradas no dinamômetro.

O experimento com forças concorrentes foi de especial valia, pois com ele podia-se vislumbrar o efeito na resultante do ângulo formado pelas forças e serviu de comprovação irrefutável do ângulo fixo e constante que equilibra três forças de mesmo módulo e origem. Esta é uma configuração comum e importante em geradores de corrente alternada trifásicos, obtendo-se aproximadamente 380 Volts de três fases de 110 V em ângulos de 120o.


Anexo

Forças e suas características

A idéia de força é bastante relacionada com a experiência diária de qualquer pessoa: sempre que puxamos ou empurramos um objeto, dizemos que estamos fazendo uma força sobre ele.

É possível encontrar forças que se manifestam sem que haja contato entre os corpos que interagem. Por exemplo: um imã exerce uma força magnética de atração sobre um prego mesmo que haja certa distância entre eles; um pente eletrizado exerce uma força elétrica de atração sobre os cabelos de uma pessoa sem necessidade de entrar em contato com eles; de forma semelhante a Terra atrai os objetos próximos à sua superfície, mesmo que eles não estejam em contato com ela.

Intensidade, direção e sentido de uma força

Imagine que uma pessoa lhe informe que exerceu sobre uma mola seu esforço muscular, deformando-a Apenas com essa informação, você não pode fazer idéia de como foi essa deformação, pois o esforço pode Ter sido feito inclinadamente, verticalmente ou horizontalmente. Se ela acrescentasse que o esforço foi feito na vertical, ainda assim voc6e poderia ficar na dúvida se o esforço foi dirigido para baixo ou para cima. Assim você só pode ter uma idéia completa da força se a pessoa lhe fornecer as seguintes informações:

intensidade ou módulo da força

direção da força

sentido da força

Sendo fornecidas essas características, módulo, direção e sentido, a força fica completamente conhecida. A força faz parte de um conjunto de grandezas da física, tais como a velocidade e a aceleração, por exemplo, denominadas grandezas vetoriais, que só ficam determinadas quando essas características são indicadas.



Medida de uma força



Quando vamos medir uma grandeza, precisamos escolher uma unidade para realizar a medida. No caso da força, uma unidade muito usada na prática diária é 1 quilograma-força, que se representa pelo símbolo 1 Kgf. Esta unidade é o peso de um objeto, denominado quilograma-padrão, que é guardado na Repartição Internacional de Pesos e Medidas, em Paris, na França.

Obs.: 1 quilograma-força (1Kgf) é a força com que a Terra atrai o quilograma-padrão (isto é, o seu peso) ao nível do mar e a 45º de latitude.

O Kgf não é a unidade de força do SI, a unidade de força nesse sistema é denominada 1newton = 1N, em homenagem a Issac Newton. A relação entre essas duas unidades é:

1Kgf = 9,8N

Portanto, a força de 1N é aproximadamente igual a 0,1Kgf (praticamente igual à força que a Terra exerce sobre um pacote de 100g).

A primeira Lei de Newton

Causa do movimento segundo Aristóteles

Se empurrarmos um livro sobre uma mesa, perceberemos que ele só se movimenta enquanto estiver-mos exercendo uma força sobre ele. Se deixar-mos de empurrá-lo, ele vai para quase instantaneamente. Observações como esta levaram o filósofo grego Aristóteles a estabelecer a seguinte conclusão:

"Um corpo só pode permanecer em movimento se existir uma força atuando sobre ele."

Esta interpretação de Aristóteles, formulada no século IV aC, foi aceita até a época do renascimento (século XVII).

As idéias revolucionárias de Galileu sobre o movimento

Galileu acreditava que qualquer estudo sobre o comportamento da natureza deveria ter por base experiências cuidadosas. Realizando então, uma série de experiências com corpos em movimento, ele concluiu, por exemplo, que sobre o livro que é empurrado em uma mesa atua também uma força de atrito, que tende sempre a contrariar o seu movimento. Assim de acordo com galileu, se não houvesse atrito o livro não pararia quando cessasse o empurrão, ao contrário do que pensava Aristóteles.



Inércia

Várias experiências do nosso cotidiano comprovam as afirmações de Galileu. Assim, temos:

se um corpo está em repouso, ele tende a continuar em repouso. Se uma pessoa estiver em repouso sobre um cavalo, e este partir repentinamente, ela tende a permanecer onde estava.

se um corpo está em movimento, ele tende a continuar em movimento retilíneo uniforme. O garoto em movimento, junto com o skate, continua a se mover quando o skate pára repentinamente.

Esses exemplos, e vários outros que nós já devemos ter observado, mostram que os corpos têm a tendência de permanecer como estão: continuar em repouso, quando estão em repouso, e continuar em movimento, quando estão se movendo. Esta propriedade dos corpos de se comporterem dessa maneira é denominada inércia. Então:

por inércia, um corpo em repouso tende a ficar em repouso

por inércia, um corpo em movimento tende a ficar em movimento

A primeira lei de newton

Vários anos mais tarde, após Galileu Ter estabelecido o conceito de inércia, Issac Newton, ao formular as leis básicas da mecânica, conhecidas como "as três leis de Newton", concordou com as conclusões de Galileu e usou-as no enuciado de sua primeira lei:

"Na ausência de forças, um corpo em repouso continua em repouso, e um corpo em movimento continua em movimento em linha reta e com velocidade constante."



Logo, tanto Galileu quanto Newton perceberam que um corpo pode estar em movimento sem que nenhuma força atue sobre ele. Observe que, quando isto ocorre, o movimento é retilíneo uniforme.



Resultante de duas forças



Considere a situação mostrada na figura 1, na qual duas pessoas exercem sobre um bloco as forças F e S mostradas. Quando duas ou mais forças atuam sobre um corpo, muitas vezes temos necessidade de substituí-las por uma força única, capaz de produzir o mesmo efeito que elas, em conjunto, produzem. Esta força única é denominada resultante das forças consideradas.



As forças têm a mesma direção e o mesmo sentido




Esta é a situação mostrada na figura 1. Neste caso, a experiência mostra que a resultante R, do sistema, tem a mesma direção e o mesmo sentido das componentes (F e S) e seu módulo é dado por R = F + S (soma dos módulo das componentes).



As forças têm a mesma direção e sentidos contrários



Neste caso (ver figura 2), a resultante R tem a mesma direção das componentes (F e S), mas seu sentido é aquele da força de maior módulo. O módulo de R é dado por R = F – S (diferença entre os módulos das componentes).




As forças não têm a mesma direção
Suponha que duas forças, F e S, de direções diferentes, estejam atuando sobre uma pequena esfera, formando entre elas um certo ângulo, como mostra a figura 3. Realizando experiências cuidadosas, os físicos chegaram à conclusão de que a resultante R destas forças deve ser determinada da seguinte maneira, conhecida como a regra do paralelogramo: da extremidade da força F traça-se uma paralela à força S e, da extremidade da força S, traça-se uma paralela à força F. Assim, estará construindo um paralelogramo, que tem F e S como lados. A resultante é dada, em módulo, direção e sentido, pela diagonal do paralelogramo, que tem sua origem no ponto de aplicação das duas forças, como mostra a Figura 3.





Forças em equilíbrio

Na figura 4 mostramos uma esfera de peso P sendo sustentada por uma pessoa que exerce sobre a esfera uma força F. Suponha que o módulo de F seja tal que F = P. Temos assim, atuando sobre a esfera, duas forças de mesmo módulo, mesma direção e sentidos contrários. Pelo que vimos anteriormente, é claro que a resultante das forças que atuam na esfera é nula, isto é, R = 0. Esta situação é, então, equivalente àquela em que nenhuma força atua sobre a esfera. Podemos, pois, concluir, pela primeira lei de Newton, que a esfera estará em repouso ou em movimento retilíneo uniforme. Quando isto ocorre, dizemos que a esfera está em equilíbrio.



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